Diez formas de pensar como un matemático (o de un físico, o de un ingeniero, o de un
científico cualquiera)
Adaptado para segundo de bachillerato de en un artículo publicado por ^DiAmOnD^ el 13 de junio de 2013 en su web
Gaussianos, a su vez
basado en el libro de Kevin Houston, 10 Ways to Think Line a Mathematician por Nacho Vallés, profesor de matemáticas
de secundaria.
¿Cómo piensa alguien que esté muy
metido en las matemáticas? ¿Qué técnicas utiliza para analizar convenientemente
las situaciones que se encuentra en sus quehaceres diarios? ¿Hay alguna manera de que cualquier persona pueda
llegar a comprender las matemáticas en profundidad? Quizás no, pero lo que sí se puede hacer es seguir
algunos consejos sencillos para facilitar esa comprensión y, en su caso, el
aprendizaje de las mismas.
Consejos los hay de todo tipo
(por ejemplo, “Cómo plantear y resolver problemas”, de George Polya), y seguro que muchos de
vosotros habéis seguido algunos que os han dado vuestros profesores o vuestros
familiares. Y estoy convencido de que también vosotros mismos habéis dado
consejos “matemáticos” en alguna ocasión. Los que aparecen en esta lectura
forman parte de un pequeño manual publicado por Kevin Houston,
matemático de la Universidad de Leeds, y bajo el punto de vista del autor de
Gaussianos (y mío también) forman una
lista bastante interesante de ideas para mejorar el aprendizaje y la
comprensión de las matemáticas.
Consejo 1: Pregúntate todo.
Una de las cosas más bellas de
las matemáticas es que pueden ser comprobadas, que no tienes que fiarte de la
palabra de nadie. Si alguien dice que algo es
cierto, tú puedes pedirle que lo demuestre.
O mejor, puedes intentar probarlo tú mismo.
Tu reacción ante un enunciado
debería ser desconfiar de él e intentar encontrar un ejemplo que muestre que es
falso (es lo que en matemáticas se llama un contraejemplo). Aunque al final
dicho enunciado resulte ser cierto, el trabajo mental que conlleva esta
búsqueda será beneficioso para ti.
Como ejemplo, supón que te dicen
que todas las funciones continuas son derivables. Es fácil encontrar un
contraejemplo, ¿verdad? (*1)
Consejo 2: Escribe con palabras.
Se entiende que hablamos de
escribir las matemáticas con palabras. ¿Cómo nos puede ayudar esto? Las frases
son los ladrillos de los argumentos, y las matemáticas (de alto nivel
principalmente) tratan de argumentos en forma de demostraciones (¡no solamente
de obtener la respuesta numérica correcta!).
Escribir con palabras en vez de
con símbolos te obliga a comprender muy bien el tema del que estás hablando y a
pensar muy cuidadosamente tus argumentos.
Si no puedes escribirlo bien en una frase quizás es porque no lo has
comprendido a la perfección.
Recuerda que si, de forma
sencilla una función es continua si se puede dibujar de un solo trazo y es
derivable si su variación es suave, no hay puntos angulosos, expresa, con tus
propias palabra por que la derivabilidad es una condición más fuerte (o más
restrictiva) que la continuidad.
Consejo 3: ¿Qué ocurre con el recíproco?
Los enunciados tipo A-->B aparecen
continuamente en matemáticas. Podemos traducirlo como “Si A es cierto, entonces
B es cierto”. El recíproco de A-->B es B-->A.
Ante un enunciado tipo A-->B, un buen matemático se preguntará si el recíproco
también es cierto por la sencilla razón de que no tiene por qué serlo. Ahí va
un ejemplo:
El
recíproco de la expresión (cierta) siguiente “Si nací en Madrid, entonces nací
en España” es
“Si
nací en España, entonces nací en Madrid”, enunciado que, claramente, no tiene
por qué ser cierto.
Por tanto, plantéate si el recíproco es cierto o no, ya no
solamente por la propia veracidad o falsedad del recíproco en el caso que estés
estudiando, sino porque ese esfuerzo que realizarás te ayudará a mejorar tus
habilidades matemáticas.
Ahí va otro ejemplo relacionado
con el anterior: “Toda función derivable --> es continua”,
¿es cierto el recíproco”. (*2)
Consejo 4: Usa el contrarrecíproco.
El contrarrecíproco de un enunciado tipo A-->B es no-B --> no-A
Por ejemplo, el contrarrecíproco
de “Si nací en Madrid, entonces nací en España” es “Si no nací en España,
entonces no nací en Madrid”
Para mucha gente es sorprendente
que sea así, pero la realidad es que la veracidad o falsedad del contrarrecíproco
es la misma que la del enunciado inicial. Esto es, ambas sentencias son equivalentes: si una es falsa la
otra también, y si una es verdadera también lo es la otra.
Esto debería aprenderse
correctamente, ya que el contrarrecíproco se utiliza con bastante frecuencia
tanto en las demostraciones matemáticas como en nuestro razonamiento diario.
Otro ejemplo de contrarrecíproco
lo utilizamos muchos cuando estudiamos la derivabilidad de funciones a trozos,
ya que f dvble. en a --> f ctna. en a, recordad que solemos estudiar primero la continuidad
y usamos que si f no-ctna en a --> f no-dvble en a, no existe f'(a).
Consejo 5: Considera casos extremos.
Los resultados obtenidos al
aplicar un teorema a los casos triviales y extremos de las hipótesis puede
ayudar a su comprensión: ¿qué pasaría
si cierto número es 0 ó 1? ¿O si consideramos la función trivial f(x)=0? ¿Qué
ocurriría si tomamos el conjunto vacío? ¿Y la sucesión {1,1,1,…}? ¿Qué obtenemos con un
círculo o una recta?
Por ejemplo, utilizando un “caso
extremo” es sencillo mostrar que el siguiente resultado es falso:
“Teorema“: Dados a,b,c,d números
enteros, si ab=cd y a=c, entonces b=d. (*3)
Consejo 6: Crea tus propios ejemplos.
Un matemático crea sus propios
ejemplos, tanto ejemplos estándar como ejemplos extremos, e incluso
no-ejemplos.
Veamos uno. De todos es sabido
que la solución de una ecuación de segundo grado ax^2+bx+c=0 se obtiene con la fórmula archiconocida . Construye ahora una ecuación de segundo grado
sabiendo que sus soluciones han de ser x=1 y x=3. Esto es más complicado que lo anterior, pero por contra nos permite aprender mucho más
sobre matemáticas.
Por tanto, dado un método para resolver un cierto tipo de
ejercicios es interesante revertir el proceso y crear nuevos problemas yendo
del final al principio.
Otro algo no-ejemplo algo más
complicado es el método utilizado para calcular los máximos y mínimos de una
función. Vamos a quedarnos con el método simplificado:
Dada una función f(x) , calculamos su
derivada, f'(x), la igualamos a cero y resolvemos la ecuación
resultante. Los puntos obtenidos son los posibles máximos y mínimos del
problema.
Después calculamos la segunda derivada, f''(x), y sustituyendo dichos puntos en ella los
clasificamos como máximos, si el valor obtenido al sustituir es negativo, o mínimos,
si el valor obtenido al sustituir es positivo.
Con este procedimiento podemos
calcular los máximos y los mínimos de una función dada siguiendo estos pasos.
Ahora, ¿y si nos piden lo contrario? Es decir, ¿y si nos piden crear una
función que, por ejemplo, tenga un máximo en x=1 y un mínimo en x=3. (*4)
Consejo 7: ¿Dónde se usan las hipótesis?
A menudo comprender la
demostración de un resultado es muy complicado. Esto es algo esperado, ya que
en muchas ocasiones en las demostraciones no se entra en dar una idea sobre el
enunciado del teorema en cuestión o en cómo se descubrió dicha demostración. En
definitiva, comprender las demostraciones es una de las cosas más difíciles a
las que puede enfrentarse alguien en matemáticas (recuerdas eso del qed o cqd
que aparece en los libros de matemáticas, pues una de sus funciones es para
advertir al lector de que la demostración ha acabado y ya puede volver a
comenzar a volver a intentar entenderla) (*5).
Por ello es importante tener
alguna idea sobre cómo comenzar a entender una demostración. Y analizar las
hipótesis del teorema es un buen comienzo. Investigar
dónde se utilizan las hipótesis de nuestro teorema puede ser de gran ayuda a la
hora de comprender la demostración. Y
encontrar “hipótesis ocultas” (por ejemplo, viendo si dentro de la demostración
se usa algún otro resultado que tenga sus propias hipótesis) también puede ser
interesante. Además, si encontramos algún resultado que se utilice varias veces
a la hora de demostrar teoremas quizás eso indique que el resultado es muy
importante o muy útil, por lo que posiblemente nos convenga aprenderlo bien.
Consejo 8: Comienza por el lado complicado.
Éste es un consejo interesante a
la hora de probar que una igualdad es cierta. Para ello, generalmente es mejor
comenzar por el “lado difícil” de la misma y realizar operaciones en él para
simplificarlo y así intentar llegar a la expresión que tenemos al otro lado.
Por ejemplo, para demostrar que tg x + coto x = 2 cosec 2x tales que x sea distinto nπ/2, para cualquier n entero, es mucho mejor comenzar por la parte “más
complicada”, la que tiene “más cosas”, la de la izquierda, y realizar
operaciones en ella hasta obtener la de la derecha, os lo dejo como
ejercicio. (*6)
Partir de la igualdad completa y
realizar operaciones o reordenaciones en ella puede no ser lo más adecuado, ya
que corremos el riesgo de caer en razonamiento circulares o incluso de suponer como cierto lo que queremos demostrar sin darnos cuenta de que lo estamos haciendo.
Consejo 9: Pregúntate qué ocurriría si…
A los buenos matemáticos les
gusta preguntarse “¿qué pasaría si…?”. Por ejemplo, “¿qué ocurriría si elimino
cierta hipótesis?”. Pensar en esto quizás nos ayude a
ver mejor por qué cierto resultado es cierto o por qué una definición es como
es. Y hasta podríamos encontrar un
nuevo teorema debilitando las hipótesis si encontramos alguna que no sea
necesaria.
Otro ejemplo. Con frecuencia los
objetos matemáticos son conjuntos de elementos que cumplen ciertas condiciones.
Y a partir de ciertos conjuntos podemos construir otros conjuntos nuevos. Pues
es interesante preguntarse si estos conjuntos nuevos “heredan” las propiedades
de los antiguos. Por ejemplo, si f(x) y g(x) son dos
funciones continuas en x=a, ¿también lo será la función cociente f(x)/g(x)? (*7)
Consejo 10: ¡Habla!
Cuando Sir Christopher Zeeman
fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Warwick, una de sus
ideas clave para fomentar una atmósfera matemática fue que hubiera pizarras en
los pasillos (además de en las clases), para facilitar que la gente pudiera
hablar con los demás y explicar su trabajo en cualquier momento (el instituto
Isaac Newton de Cambridge tiene pizarras en los baños y hasta en el
ascensor…que sólo recorre dos plantas).
Son muchas las ventajas de
comunicar tu trabajo a otros. Por un lado, al explicarlo te fuerzas a pensar
con claridad. Y por otro lado, puedes aprender de los demás, ya que ellos pueden sugerirte ideas para resolver un
problema o avanzar en él o, por otra parte, pueden encontrar errores en tus
razonamientos.
Como se decía al principio, tenéis
ante vosotros una interesante lista de consejos para pensar “como un
matemático”. Creo que todos son muy acertados y muy necesarios para que nuestra
mente se acostumbre a pensar de forma matemática. De todas formas, seguro que
hay más ideas interesantes que no aparecen en esta lista.
NOTAS:
(*1)
Solo tienes que considerar la función valor absoluto, y=|x|, que es continua en
todo R, pero
derivable en R excepto el 0.
(*2)
No lo es, la nota (*1) sirve como contraejemplo de que, en este caso, el
recíproco no es cierto. En matemáticas, el uso de contraejemplos es muy común.
Os recomiendo la lectura, para un futuro próximo tal vez, del libro “Pruebas y refutaciones”
del matemático y filósofo húngaro Imre
Lakatos.
(*3) No es cierto en el caso en que a=c=0, ya que, p.e., 7 · 0 = 3 · 0 y 7 no es igual a 3.
(*4) Evidentemente, f(x) ha de ser tal que f(x)=A(x-1)(x-3)=A(x^2-4x+3), para
que se anule en 1 y en 3. El efecto de A (A>0 ó A<0 ajustar="" al="" el="" es="" hacer="" m="" nimo="" o="" para="" span="" ximo="" y="">la f''(x), para
que se correspondan el máximo y mínimo pedido. Solo queda pensar cómo debería
ser f(x). ¿Te
atreves?
(*5) Las siglas cqd ó qed
son las que se suelen usar al acabar una demostración de un teorema y
significan “como queríamos demostrar” o, en latín, “quod erat demonstrandum”.
También hay quien utiliza qelqqd (qué es lo que queríamos demostrar).
(*6) Para la demostración
debes recordar que 2 sin x cos x = sin 2x. La coletilla x distinto de nπ/2 se usa para asegurarse de que tanto sin x como cos x son, ambos, distintos de cero y así existen
tanto la tg x como la cota x (y la cosec 2x).
(*7) Eso será cierto
siempre que g(a) sea distinto de 0.
Nacho Vallés.
